Les fonctions "inverses" (fonctions réciproques)

Les fonctions "inverses" dites fonctions réciproque

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C'est quoi une fonction réciproque ?

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On vient de voir ensemble ce qu'était une fonction. Donc pour rappel une fonction, ça peut être vu comme une machine qui reçoit des "X" et qui renvoie des "Y". On va s'intéresser à un type de fonction un petit peu particulier. Ça s'appelle les fonctions inverses. Qu'est ce que c'est exactement une fonction inverse ? Une fonction inverse c'est toujours une fonction qui est inverse par rapport à une autre fonction. La fonction inverse de "F(x)", c'est la fonction qui, si on lui donne le "Y" qui a été renvoyé par "F(x)", va renvoyer elle-même le "X" que l'on a donné au "F(x)". C'est un petit peu compliqué, je vais représenter ça sur le tableau pour que ce soit plus clair (voir l'image si dessous).

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On va prendre un exemple pour que ce soit un petit peu plus clair. Dans l'article précédent, on avait considéré la fonction "F(x) = 2X". C'était la fonction qui multipliait par deux et qui doublait tout ce qu'on lui donnait. Ici, par exemple, si je donnais "1" à ma fonction "F(x)", elle me renvoyait "2". Si je lui donnais "3", par exemple, elle me renvoyait "6". Ma fonction inverse, ce qu'elle va faire, c'est si je lui donne "2", elle va me renvoyer "1". En quelque sorte la fonction inverse, ce qu'elle fait, c'est l'opération inverse que faisait la fonction "F(x)". Ici, elle divise tout par deux. Je ne veux pas l'appeler "F(x)". Je l'ai appelée "G(x)" pour qu'on différencie bien les deux. Et étant la fonction inverse de "F(x)", "G(x)=X/2".

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A quoi ça sert tout ça ? Pourquoi est ce que je vous parle de fonction inverse ? C'est important de comprendre ce qu'est une fonction inverse lorsque l'on résout des équations qui sont un peu plus compliquées. Pour l'instant, on a vu que pour résoudre une équation, ce qu'il fallait faire, c'était isoler le "X". Et pour isoler le "X", ce qu'il fallait faire, c'est à faire des opérations inverses de part et d'autre de l'équation. Par exemple, quand il y avait un "+1" d'un côté de l'équation, si on voulait s'en débarrasser pour isoler le "X", il fallait faire "-1" à gauche et "-1" à droite. Les équations qu'on a vu pour l'instant, c'était des équations relativement simples dans laquelle les opérateurs qu'on utilisait c'était des plus, des moins, des fois, des diviseurs, éventuellement des puissances. Il existe des opérateurs plus compliqués que les plus les moins, les fois, les diviser, les puissances et les racines. Par exemple, il existe des équations qui impliquent des exponentielles. Par exemple, "e^x + 3 = 2". Ça, c'est une équation qui implique une exponentielle. Il existe aussi des équations qui impliquent des logarithmes. Par exemple, "log (4X)*3 = 7". Il existe aussi des équations qui comprennent des fonctions trigonométriques. Par exemple, "sin(4X)= 1/2".

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Pour résoudre ces équations, il faut se débarrasser de ces opérateurs compliqués, effectuer la fonction inverse de ces opérateurs compliqués. Et c'est ici que les fonctions inverses interviennent. Je ne rentre pas du tout dans le détail, j'aimerais juste vous faire comprendre que lorsque l'on est face dans des équations à des opérateurs complexes, il est possible de s'en débarrasser si l'on utilise la fonction inverse qui les annule.