Dans cette session, on va continuer d'explorer les notions de sinus, de cosinus et de tangente, mais on va leur donner une définition un petit peu plus large.
Pour l'instant, grâce à la formule SOHCAHTOA, on a vu que le sinus, le cosinus ou la tangente d'un angle, c'était en fait des rapports de longueurs de côtés sur un triangle rectangle. Dans cette vidéo, on va étudier les propriétés qu'ont les triangles rectangles dont l'hypoténuse vaut 1.
SOHCAHTOA et les triangles semblables
Prenons deux triangles rectangles semblables.
Puisque ce sont des triangles semblables, ils ont la même forme, mais pas nécessairement la même taille. Et ça, ça implique qu'ils ont les mêmes angles et qu'ils ont aussi leurs côtés proportionnels.
Le deuxième triangle a une caractéristique particulière. Son hypothénuse est égale à 1, et comme nous le verrons, ça aura des conséquences par la suite !
On va maintenant calculer le sinus, le cosinus et la tangente de ces deux triangles rectangles un même angle alpha, représenté sur la photo.
Normalement, on devrait obtenir le même résultat pour chacun des triangles rectangles parce que le sinus, le cosinus et la tangente, ça se calcule par rapport à un angle et ici l'angle, il est le même puisque les triangles sont semblables.
Calculer le sinus
Pour calculer le sinus, comme vu dans l'article précédent, on applique la formule suivante :
Sinus = Côté opposé / Hypothénuse
- Dans le premier triangle, on obtient 3 : 5 = 3/5.
- Dans le deuxième triangle, on obtient 3/5 : 1 = 3/5.
Sans surprise, on obtient le même résultat.
Dans le second cas, on observe cependant quelque chose de particulier. Le côté opposé = 3/5, et le sinus = 3/5. Les valeurs sont les mêmes, puisque l'on divise par "1" !
Lorsque l'hypothénuse vaut 1 : Sinus = Longueur du côté opposé
Calculer le cosinus
Reproduisons le raisonnement pour le cosinus :
Cosinus = Côté adjacent/ Hypothénuse
- Dans le premier triangle, on obtient 4 : 5 = 4/5.
- Dans le deuxième triangle, on obtient 4/5 : 1 = 4/5.
Ici encore, on obtient le même résultat, et on observe que, pour le deuxième triangle, le côté adjacent prend la même valeur que le sinus.
Lorsque l'hypothénuse vaut 1 : Cosinus = Longueur du côté adjacent
Calculer la tangente
Grâce à la formule SOHCAHTOA, on sait que :
Tangente = Côté opposé / Côté adjacent
Et puisque l'on sait aussi que :
Lorsque l'hypothénuse vaut 1 : Sinus = Longueur du côté opposé
Lorsque l'hypothénuse vaut 1 : Cosinus = Longueur du côté adjacent
On peut en déduire que :
Lorsque l'hypothénuse vaut 1 : Tangente = Sinus / Cosinus
Il s'agit ici de propriétés à retenir ! Comme vous le verrez, ça nous sera super utile lorsque que nous utiliserons le cercle trigonométrique !
Et d'ailleurs, on en parlera dans le prochain chapitre. On se retrouve là-bas !
