Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser au cercle trigonométrique.
Le cercle trigonométrique, c'est quoi?
Pour commencer, nous allons construire notre cercle trigonométrique :
- Premièrement, il faut savoir que le cercle trigonométrique est représenté sur un plan gradué. Il est donc traversé par deux axes en son centre, l'axe de"x" qui est horizontal, et l'axe des "y", qui est vertical.
- Deuxièmement, le cercle trigonométrique a un rayon de longueur "1".
- Troisièmement, puisqu'il est traversé par deux axes, on peut y voir quatre quadrants, que l'on va numéroter dans le sens anti-horloger avec des chiffres romains.
Nous venons de construire notre cercle trigonométrique !
Le cercle trigonométrique, ça sert à quoi ?
Le but du cercle trigonométrique est de représenter graphiquement les valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente (et même de la cotangente !) pour n'importe quel angle ! C'est un outil de visualisation.
Comment utiliser le cercle trigonométrique ?
On peut se déplacer le long du cercle trigonométrique ! Le point de départ est l'extrémité droite du cercle trigonométrique. Depuis ce point de départ, je n'ai qu'à 'glisser' le long du cercle trigonométrique dans le sens anti-horloger pour atteindre ma position finale, celle que je veux !
Pour quantifier la position que l'on a sur le cercle trigonométrique, on va utiliser des angles. Plus précisement, il faut regarder l'angle formé entre ma position de départ et ma position d'arrivée. On a vu que les angles, ça pouvait s'exprimer en degrés ou en radians. Par conséquent, la position que l'on aura sur le cercle trigonométrique, on pourra logiquement la quantifier en degrés ou en radians.
Prenons un exemple. Admettons que je veuille me déplacer au sommet du cercle trigonométrique. Pour atteindre cette position, un angle de 90° (ou pi/2 radians) a dû être formé entre ma position de départ et ma position d'arrivée. La position du sommet du cercle trigonométrique correspond donc à 90° ou pi/2 radians.
Prenons un deuxième exemple. Si je souhaite maintenant me rendre à mi-chemin entre le sommet du cercle trigonométrique et son extrémité droite, l'angle doit être 2 x plus petit ! Pour quantifier cette nouvelle position sur le cercle, on ne parle plus de 90° ou de pi/2 radians, mais de 2 x moins, à savoir 45° ou pi/4 radians.
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Vous savez maintenant comment vous déplacer sur le cercle trigo !
Calculer le sinus sur le cercle trigonométrique
Il y a quelque chose d'intéressant qui peut se passer sur le cercle trigonométrique. Pour n'importe quel angle choisi, il est possible de construire un triangle rectangle sur le cercle trigonométrique.
Dans l'image ci-dessus, pour l'angle 36,87° de l'exemple, on voit directement apparaitre un triangle retctangle. Et pas n'importe lequel !
Il s'agit d'un triangle rectangle dont l'hypothénuse vaut 1, puisque le rayon du cercle trigonométrique est de longueur 1.
Dans le chapitre précédent, nous avons les propriétés des triangles rectangles dont l'hypothénuse vaut 1.
Grâce à la formule SOHCAHTOA, nous avions déterminé que, pour de tels triangles :
Côté Opposé = Sinus
Coté Adjacent = Cosinus
Dans l'image ci-dessus, la longueur du trait orange, qui correspond au côté opposé, représente donc le sinus de l'angle 36,87°. Et il peut être directement visualisé sur le cercle trigonométrique si on le projette sur l'axe vertical.
Il en découle donc la définition suivante :
Le sinus d'un angle, c'est la longueur résultant de la projection de cet angle sur l'axe vertical du cercle trigonométrique.
Et si on mesurait cette longueur avec une règle graduée très précise, on obtiendrait comme résultat 0,6 = 3/5 !
On observe donc visuellement ici que :
sin(36,87°) = 3/5
Vous pouvez le vérifier en tapant sin(36,87°) sur votre calculatrice !
Calculer le cosinus sur le cercle trigonométrique
Et devinez quoi ? Pour le sinus, c'est très similaire.
En réutilisant les formules :
Côté Opposé = Sinus
Coté Adjacent = Cosinus
Avec le même raisonnement, on en déduit que :
Le cosinus d'un angle, c'est la longueur résultant de la projection de cet angle sur l'axe horizontal du cercle trigonométrique.
Petit truc mnémotechnique pour ne pas confondre le sinus et le cosinus : dans cosinus, on retrouve un "o" comme dans horizontal !
Et si on mesurait cette longueur avec une règle graduée très précise, on obtiendrait comme résultat 0,8 = 4/5 !
On observe donc visuellement ici que :
cos(36,87°) = 4/5
Aller plus loin avec le cercle trigonométrique
Grâce au cercle trigonométrique, on peut maintenant définir le sinus et le cosinus de manière plus large qu'avec la formule SOHCAHTOA.
On sait maintenant que :
Le sinus d'un angle, c'est la longueur résultant de la projection de cet angle sur l'axe vertical du cercle trigonométrique.
Le cosinus d'un angle, c'est la longueur résultant de la projection de cet angle sur l'axe horizontal du cercle trigonométrique.
Le raisonnement que l'on a tenu ici, il marche pour n'importe quel angle, dans n'importe quel quadrant du cercle trigonométrique !
Voici un exemple ci-dessous :
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Dans cet exemple, on obtient un sinus relativement grand (très proche de 1) et un cosinus négatif. On change ici de paradigme !
Avec SOHCAHTOA, on avait conclu que :
- Le sinus était compris entre 0 et 1
- Le cosinus était compris entre 0 et 1
Avec le cercle trigonométrique, on peut conclure que :
- Le sinus peut être compris entre -1 et 1
- Le cosinus peut être compris entre -1 et 1
C'est tout pour ce chapitre ! Vous savez maintenant comment interpréter le sinus et le cosinus sur le cercle trigonométrique.
On se retrouve dans le prochain chapitre pour interpréter la tangente sur le cercle trigonométrique.
À tout de suite!
