Dans le chapitre précédent, on a vu comment interpréter le sinus et le cosinus sur le cercle trigonométrique.
Dans ce chapitre, on va voir comment visualiser la tangente sur le cercle trigonométrique.
Rappel : Sinus et Cosinus sur le cercle trigonométrique
Reprenons notre cercle trigonométrique et traçons un deuxième axe vertical (en rouge) à l'extremité droite du cercle.
Ce deuxième axe va nous aider à visualiser la tangente d'un angle avec le cercle trigonométrique.
Comme vous pouvez le voir, un angle est déjà dessiné sur le cercle trigonométrique. Il s'agit de l'angle 45° (ou pi/4 radians).
Le sinus et le cosinus de l'angle ont aussi été représentés sur le cercle trigonométrique.
Pour rappel :
Le sinus d'un angle, c'est la longueur résultant de la projection de cet angle sur l'axe vertical du cercle trigonométrique.
Le cosinus d'un angle, c'est la longueur résultant de la projection de cet angle sur l'axe horizontal du cercle trigonométrique.
On a même calculé leur valeur à la calculatrice et on obtient :
sin(45°) = racine carrée de 2 / 2
cos(45°) = racine carrée de 2 / 2
La tangente sur le cercle trigonométrique
Pour visualiser la tangente sur le cercle trigonométrique, il faut regarder la projection de la continuité du segment que forme l'angle sur le deuxième vertical, ici en rouge à l'extrémité droite sur cercle.
L'intersection que l'on obtient nous donne la valeur de la tangente de l'angle !
Dans l'exemple ici, pour un angle de 45°, la tangente vaut 1 ! Et on peut le vérifier à la calculatrice :
tan(45°) = 1
La formule de la tangente
Petite parenthèse ici !
Dans le chapitre sur les triangles rectangles dont l'hypothénuse vaut 1, on a vu que la tangente, c'était aussi le rapport du sinus sur le cosinus.
Tangente = Sinus / Cosinus
Cette formule est toujours valable dans le cercle trigonométrique, puisque les triangles rectangles qu'on peut y former ont une hypothénuse de 1, puisque le rayon du cercle trigonométrique vaut 1.
On le vérifie d'ailleurs très rapidement grâce à notre exemple avec un angle de 45° :
sin(45°) = racine carrée de 2 / 2
cos(45°) = racine carrée de 2 / 2
Tangente = Sinus / Cosinus
Donc tan(45°) = 1
Les valeurs possibles de la tangente sur le cercle trigonométrique
Avec l'interprétation de la tangente suivant la formule SOHCAHTOA, nous avions vu que la tangente pouvait prendre des valeurs allant de 0 à '+ l'infini'.
Avec le cercle trigonométrique, on "élargit" en quelque sorte la définition.
La tangente peut maintenant prendre toutes les valeurs qui peuvent être projetées sur le deuxième axe vertical du cercle trigonométrique. Autrement dit : la tangente peut maintenant prendre des valeurs allant de '- l'infini' à '+ l'infini' !
La cotangente, c'est quoi ?
Je fais une petite parenthèse ici ! Le sinus, le cosinus et la tangente, ce sont ce qu'on appelle des fonctions trigonométriques. On verra plus tard dans le détail ce que sont les fonctions trigonométriques, mais il faut savoir qu'il en existe d'autres.
Par exemple, il existe la cotangente, et elle aussi peut être visualisée sur le cercle trigonométrique. Pour visualiser la cotangente sur le cercle trigonométrique, il faut regarder la projection de la continuité du segment que forme l'angle sur le deuxième horizontal, placé au sommet du cercle trigonométrique !
On ne va pas trop s'y intéresser, car la cotangente est bien moins utilisée que la tangente, le sinus et le cosinus, mais c'est toujours bon à savoir !
C'est tout pour ce chapitre ! Dans le prochain chapitre, on s'intéressera aux valeurs particulières du cercle trigonométrique. À tout de suite !
