Qu'est-ce que la fonction tangente?
Comme pour le sinus et le cosinus, pour l'instant, on a vu deux façons de calculer la tangente en trigonométrie:
- On peut interpréter le tangente comme étant un rapport de longueur de côté sur un triangle rectangle grâce à la formule SOHCAHTOA. La tangente, c'est le rapport du côté opposé sur le côté adjacent.
- On peut interpréter la tangente comme étant la projection d'un angle sur un axe vertical placé à l'extremité droite du cercle trigonométrique.
Comme pour la sinus et le cosinus, il est aussi possible d'interpréter la tangente comme étant une fonction que l'on appelera la fonction tangente.
Le lien entre la fonction tangente et le cercle trigonométrique
Dans les chapitres précédents, et dans mon cours d'analyse dédié spécifiquement à ce sujet, on a vu ce qu'était une fonction.
Une fonction, ça peut être vu comme étant une "machine" qui reçoit des "x" et qui renvoie des "y".
La fonction tangente, c'estaussi une "machine" qui reçoit comme "x" un angle exprimé en radians et qui renvoie comme "y" la valeur que prend la tangente sur le cercle trigonométrique ! Vous l'avez compris, le raisonnement est exactement le même que celui relatif à la fonction sinus et à la fonction cosinus !
On va prendre quelques exemples, exactement comme dans les deux chapitres précédents:
- Admettons que je donne à la 'machine' tangente l'angle "zéro radians". Si je place sur le cercle trigonométrique le point qui correspond à l'angle zéro radians, j'obtiens comme valeur de la tangente "0" (puisque l'on sait que la tangente, c'est la longueur obtenue lors de la projection de l'angle sur l'axe vertical situé à l'extrémité droite du cercle trigonométrique). Dans cet exemple, la fonction tangente reçoit "0" et renvoie "0".
- Admettons maintenant que l'angle que je donne à a f cosinust l'angle pi/4 radians". Si je place maintenant sur le cercle trigonométrique le point qui correspond à l'angle "pi/4" radians, et que je regarde la projection qu'il fait sur l'axe de la tangente, j'obtiens la valeur "1". Dans cet exemple, la fonctions tangente recoit "pi/4" et renvoie "1".
- Comme dernier exemple, admettons que je donne à la fonction cosinus l'angle "-p/4i radians". Avec le même raisonnement, on peut observer que la valeur que prend la tangente sur le cercle trigonométrique, c'est "-1" ! Dans cet exemple, la fonction sinus recoit "-pi/4" et renvoie "-1".
Ici encore, le mécanisme est exactement le même que pour la fonction sinus et la fonction cosinus, sauf que les valeurs que renvoie la fonction sont différentes, puisqu'on regarde maintenant la projection sur l'axe de la tangente, et non plus l'axe du sinus ou l'axe du cosinus. Voilà pourquoi il était fondamental de comprendre comment calculer la tangente sur le cercle trigonométrique!
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On comprend maintenant le mécanisme interne de la fonction tangente.
Pour résumer : La fonction tangente, c'est une 'machine' qui reçoit comme "x" un angle exprimé en radians et qui renvoie comme "y" la valeur que prend le tangente sur le cercle trigonométrique !
Domaine de définition de la fonction tangente
Attention ici ! Il y a un cas particulier avec la fonction tangente.Lorsque je lui donne certaines valeur, la 'machine' peut parfois 'casser'.
C'est par exemple le cas lorsque je donne la valeur 'pi/2 radians' à la fonction tangente. Dans ce cas, il n'existe tout simplement pas d'intersection entre la projection de l'angle et l'axe de la tangente. On obient deux droites parallèles qui, par définition, ne se rencontrent jamais. Dans ce cas là, la fonction ne renvoie ... rien du tout! On dit que la fonction n'est pas définie pour de tels angles. C'est le cas pour 'pi/2', mais aussi pour '-pi/2', '3pi/2', '-3pi/2', '5pi/2', etc, etc...
Représenter la fonction tangente graphiquement
Puisque l'on sait calculer la tangente sur le cercle trigonométrique pour n'importe quel angle, on peut le faire pour tous les angles possibles et inimaginables.
En traçant sur un plan toutes les correspondances entre 'ce qui rentre dans la fonction' et 'ce qui sort de la fonction', on obtient la représentation graphique de la fonction, qui, contrairement au sinus et au cosinus, ne dessine pas de vagues successives.
C'est maintenant tout pour ce chapitre. Vous savez maintenant ce qu'est la fonction tangente!
On se retrouve dans le prochain chapitre pour étudier la fonction arcsinus !
A très vite!
