Comment résoudre une équation trigonométrique ?
Pour commencer ce chapitre sur la résolution d'équations trigonométrique, nous devons commencer par des rappels de base d'algèbre. Si vous voulez maitriser les bases de l'algèbre sur le bout des doigts, je vous invite à suivre mon cours d'algèbre complet de 7 heures qui vous raffraichira la mémoire en un temps record!
Qu'est-ce qu'une équation ?
Une équation, c'est une expression algébrique dans laquelle on retrouve le signe "=" et une inconnue. En général, l'inconnue, c'est la lettre X.
Résoudre une équation, c'est trouver la valeur numérique de l'inconnu,e c'est trouver le nombre mystère qui se cache derrière la lettre X et qui fait que l'égalité est respectée.
Résoudre des équations, ça ne se fait pas toujours facilement. Pour résoudre une équation, il faut en général suivre une démarche systématique qui consiste à isoler le X. Pour isoler X, il faut effectuer des opérations inverses de part et d'autre de l'égalité, jusqu'à se ramener à une situation ou X est isolé.
C'est tout pour les rappels de base ! On peut maintenant s'attaquer aux équations trigonométrique.
Qu'est-ce qu'une équation trigonométrique ?
Une équation trigonométrique, c'est une équation dans laquelle on retrouve une fonction trigonométrique, comme la fonction sinus, la fonction cosinus ou la fonction tangente par exemple.
Prenons un premier exemple d'équation trigonométrique à résoudre :
6 sin(x) - 2 = 1
L'objectif, c'est trouver la valeur de x qui fait que cette égalité est respectée. Si on trouve ce x 'mystère', on aura résolu l'équation ! Pour y arriver, il faut maintenant isoler le x en effectuant des opérations inverses de part et d'autre de l'égalité. C'est parti !
6 sin(x) - 2 = 1 => On recopie l'équation trigonométrique de départ
6 sin(x) - 2 + 2 = 1 + 2 => On fait '+2' de part et d'autres de l'égalité
6 sin(x) = 3 => On simplifie
6 sin(x) / 6 = 3 / 6=> On divise par 6 de part et d'autre de l'égalité
sin(x) = 1/2 => On simplifie
Pour l'instant, on a isolé la fonctino trigonométrique elle-même. Mais c'est le x que l'on veut isoler. Pour faire disparaitre le sinus, il faut donc maintenant appliquer la fonction réciproque de la fonction sinus, à savoir la fonction arcsinus, de part et d'autre de l'égalité. C'est parti !
sin(x) = 1/2 => On recopie l'équation trigonométrique
arcsin(sin(x))= arcsin(1/2) => On applique la fonctino réciproque de part et d'autre de l'égalité
Et il nous reste à simplifier le tout.
- Pour le côté gauche de l'égalité, on obtient x (par définition de la fonciton arcsinus, qui est conçue pour 'faire disparaitre" la fonction sinus)
- Pour le côté droit, il faut calculer l'angle qui est tel que le sinus vaut 1/2. Si on connait ses valeurs particulières, on sait que cet angle, c'est pi/6 radians!
arcsin(sin(x))= arcsin(1/2) => On recopie l'équation trigonométrique
x = pi/6
Le x est maintenant isolé!
Une équation trigonométrique a en général une infinité de solutions
A-t-on résolut l'équation ?
6 sin(x) - 2 = 1
arcsin(sin(x))= arcsin(1/2)
x = pi/6
Hé bien, pas tout à fait. Jusqu'à présent, on a trouvé une solution à cet équatinn. On a trouvé un X tel que l'égalité est vérifié. Malheureusement pour nous, le travail ne s'arrête pas là. Parce que des x qui vérifie l'égalité, il en existe pleins, pleins, pleins. Il en existe même une infinité.
Revenons un petit peu en arrière :
arcsin(sin(x))= arcsin(1/2)
Pour simplifier le côté droit, il fallait calculer l'angle qui est tel que le sinus vaut 1/2. Pi/6 radians est bien une solution, mais ce n'est pas la seule !
Par exemple :
- pi/6 + 2 pi radians est aussi un angle dont le sinus vaut 1/2. C'est le même angle que pi/6, à 1 tour complet du cercle trigonométrique près !
- pi/6 + 4 pi radians est aussi une solution. C'est le même angle que pi/6, à 2 tours complets du cercle trigonométrique près !
- pi/6 + 6 pi radians est aussi une solution. C'est le même angle que pi/6, à 3 tours complets du cercle trigonométrique près !
Et ce n'est pas tout!
- 5 pi / 6 radians , l'angle supplémentaire de pi/6 radians, est aussi un angle dont le sinus vaut 1/2 !
- 5 pi / 6 + 2 pi est aussi une solution. C'est le même angle que 5 pi /6, à 1 tour complet du cercle trigonométrique près !
- 5 pi / 6 + 4 pi est aussi une solution. C'est le même angle que 5 pi /6, à 2 tours complets du cercle trigonométrique près !
- 5 pi / 6 + 6 pi est aussi une solution. C'est le même angle que 5 pi /6, à 3 tours complets du cercle trigonométrique près !
- etc, etc
ll existe une notation bien particulière pour exprimer l'ensemble de toutes les solutions de l'équation trigonométrique, comme vous pouvez le voir sur l'image ci-dessous.
Utiliser les angles associés pour résoudre des équations trigonométrique
Comment être sûr de n'oublier aucune solution lors de la résolution d'équation trigonométrique ? En connaissant les propriétés des angles associés !
Voici mes conseils :
- Dans TOUS LES CAS : considérez toujours les angles qui ont la même position sur le cercle trigonométrique, à 1 tour près, 2 tours près, 3 tours près, 'k' tours près.
- Avec les équations trigonométriques qui continennent des sinus : considerez les angles supplémentaires !
- Avec les équations trigonométriques qui continennent des cosinus: considerez les angles opposés !
- Avec les équations trigonométriques qui continennent des tangentes : considerez les angles anti-supplémentaires !
Résoudre des équations trigonométrique plus compliquées
Bien entendu, dans cet article, nous ne nous sommes intéressés qu'à la démarche à suivre pour résoudre des équations trigonométriques. Puisque c'était surtout la méthode qui nous intéressait, nous n'avons pris que des cas relativement simples.
Il est courant de rencontrer des cas plus compliqués, pour lesquels plus d'opérations sont nécessaire. Parfois, il faut aussi avoir recours aux formules trigonométriques.
Vous connaissez maintenant la démarche à suivre pour résoudre des équations trigonométriques! Félicitations !
On se retrouve au prochain chapitre pour découvrir ensemble ce que sont les sinusoïdales. À très vite!
